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江苏省射阳中学高二数学下学期期中试题 文 苏教版

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2013 年春学期期中考试高二数学(文科)试卷
答题时间:120 分钟 卷面总分:160 分 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位 ...... 置上 . .. 1. 设全集 U ? {1, 2,3, 4,5, 6} ,集合 A ? {1, 2,3} , B ? {2,3, 4},则 CU ( A 2. 若复数 z ?

B) ?



1 ? 2i ,则z的实部是_____________. i 3. 命题“ ?x ? R, x 2 ? 1 ? 0 ”的否定是 . 4.已知条件 p :x>2,条件 q : x ? a ,若 p 是 q 的充分不必要条件,则 a 的取值范围是
_________.

?? x ? 2, x ? 0 ,则 f ? f ?? 2?? 的值为_________。 ?log2 x, x ? 0 m 6 复数 z ? (3 ? i)m ? (2 ? i)n(m, n ? R) 对应的点在第四象限内,则 的取值范围是_____ n
5. 已知函数 f ?x ? ? ? 7、用火柴棒摆“金鱼” ,如图所示: … ① ② ③

按照上面的规律,第 n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为_________________ 8.定义:若函数 f(x)的图像经过变换 T 后所得图像对应的函数与 f(x)的值域相同,则称变 换 T 是 f(x)的同值变换。下面给出了四个函数与对应的变换: 2 (1) f(x)=(x-1) , T1 将函数 f(x)的图像关于 y 轴对称; x-1 (2) f(x)=2 ,T2 将函数 f(x)的图像关于 x 轴对称; (3) f(x)=

x x ?1
2
3

,T3 将函数 f(x)的图像关于原点对称;

x 9. 已知偶函数 f ( x ) 在区间 ?0, ?? ) 上单调递增,则满足 f 2 ? 3 < f (?1) 的 x 的集合

(4) f(x)= x +x T4 将函数 f(x)的图像关于直线 x=1 对称。 其中 T 是 f(x)的同值变换的有__________.(写出所有符合题意的序号)

?

?

是 . 10.设 a 是实数,a≠-1 若函数 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? 1| 是定义在 R 上的奇函数, 则函数 f ( x) 的 递增区间为 .

0 1 3 ) 11.定义在实数集 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? f ? x ? 2? ? 6 , 若 f ? 3? ? 2 , 则 f (2
值为 . 12. 设函数 f ( x ) ?



x ( x ? 0) ,观察: x?2 x x f1 ( x) ? f ( x) ? f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ? x?2 3x ? 4 x x f 3 ( x) ? f ( f 2 ( x)) ? f 4 ( x) ? f ( f 3 ( x)) ? 7x ? 8 15 x ? 16

…… 根据以上事实,由归纳推理可得:当 n ? N *且n ? 2时,f n ( x) ? f ( f n ?1 ( x)) ?

1 r (a ? b ? c) , 2 根据类比推理的方法,若一个四面体的内切球的半径为 R ,四个面的面积分别是 S1 , S 2 , S 3 , S 4 ,则四面体的体积 V ? . 2x ( x ? R) 有如下结论: 14.关于函数 f ( x) ? 1? | x | ① f ( x) 是偶函数;②函数 f ( x) 的值域为 (?2, 2) ; ③ f ( x ) 在R上单调递增;④函数 | f ( x ? 1) | 的图象关于直线 x ? 1 对称;
13.若三角形内切圆的半径为 r ,三边长为 a,b,c ,则三角形的面积 S ? 其中正确结论的序号有__________. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应写出文 ....... 字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分 14 分) 已知集合 A ? {x | x ? 2x ? 3≤0}, B ? {x | x ? 2mx ? m ? 9≤0}, m ? R . (1)若 m =3,求 A B. ; (2)若 A ? B ,求实数 m 的取值范围.
2 2 2

16.(本题满分 14 分)命题 p : 函数 f(x)=x +(m-2)x+1 在 (- ∞, 2)上为减函数 ,命题 q : 方程
2

4 x2 ? 4(m ? 2)x ? 1 ? 0无实数根.若“ p 或 q ”为真命题,求实数 m 的取值范围.

17. (本题满分 15 分)求 Sn ? 1? 2 ? 2 ? 3 ? 3? 4 ?

? n(n ?1)(n ? N ? ) 可用如下方法:

1 1? 2 ? (1? 2 ? 3 ? 0 ?1? 2) 3 1 2 ? 3 ? (2 ? 3 ? 4 ? 1? 2 ? 3) 3 1 3 ? 4 ? (3 ? 4 ? 5 ? 2 ? 3 ? 4) 3 1 n(n ? 1) ? [n(n ? 1)(n ? 2) ? (n ? 1)n(n ? 1)] 3

1 n(n ? 1)(n ? 2), 仿此方法, 3 求 Sn ? 1? 2 ? 3 ? 2 ? 3? 4 ? ? n(n ? 1)(n ? 2)(n ? N ? )
将以上各式相加,得 S n ?

18 . (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求证: f ( x ) 是奇函数;

1 ax ?1 (a ? 0, 且a ? 1) , 设函数 g ( x ) ? f ( x ? ) ? 1 x 2 a ?1

(Ⅱ)① 求证: g ( x) ? g (1 ? x) ? 2 ; ② 求 g (0) ? g (

1 2 ) ? g( )? 100 100

99 ? g( ) ? g (1) 的值; 100

19. (本小题满分 16 分)已知函数 f ? x ? ? x ?

a 的定义域为(0, ? ? ) , a ? 0 且当 x=1 时取 x 得最小值,设点 P 是函数图象上的任意一点,过点 P 分别作直线 y ? x 和 y 轴的垂线,垂
足分别为 M、N。 (1)求 a 的值; (2)问: PM ? PN 是否为定值?若是,则求出该定值,若不是,请说明理由; (3)设 O 为坐标原点,求四边形 OMPN 面积的最小值。

20. (本小题满分 16 分)已知函数 g ( x) ? ax2 ? 2ax ? 1 ? b(a ? 0) ,在区间 [2,3]上有最 大值 4,最小值 1,设 f ( x ) ?

g ( x) . x

(Ⅰ)求 a, b 的值; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? kx ? 0 在 x ∈(0,+∞)时恒成立,求实数 k 的取值范围; (Ⅲ)方程 f (| 2 ? 1) | ? k (
x

2 ? 3) ? 0 有三个不同的实数解,求实数 k 的取值范围. | 2 ? 1|
x

2013 年春学期期中考试 高二数学(文科)参考答案 一.填空题(每小题 5 分,满分共 70 分) 1. 3 . 5. 7. 9. 11. {5,6} ; 2. 4. 6. 8. 10. 12. 2 ; ; ; ;

?x ? R, x2 ? 1 ? 0 ;
2 ; ; ; ;

a?2

2 m ? ?1 3 n
(1) (3) (4) (-1,1) . (或[-1,1])

6n ? 2
(1,2) 3

x (2 ? 1) x ? 2n
n



13.

1 R ( S1 ? S 2 ? S3 ? S 4 ) ; 3

14.

② ③.



15.

解: (1) A?x | ?1 ? x ? 3? B?x | m ? 3 ? x ? m ? 3?

当 m=3 时 B ? ?x | 0 ? x ? 6? ? A (2)

B ? [0,3] ————————7 分

?m ? 3 ? ?1 A ? B?? ? 0 ? m ? 2 ————————14 分 ?m ? 3 ? 3 m?2 ? 2 ? m ? ?2 ——————————4 分 16. 解:若 P 为真,则 ? 2 若 q 为真,则 ? ? 16(m ? 2)2 ?16 ? 0??3 ? m ? 1————8 分 ? p真或q真 因“p 或 q”为真 —————————————14 分 ? m ? ?1

17.解:

1 1? 2 ? 3 ? (1? 2 ? 3 ? 4 ? 0 ?1? 2 ? 3) 4 1 2 ? 3 ? 4 ? (2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 1? 2 ? 3 ? 4) 4 1 3 ? 4 ? 5 ? (3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5) 4 n(n ? 1)(n ? 2) ? 1 ? n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) ? (n ? 1)n(n ? 1)(n ? 2)? 4
1 n(n ? 1)(n ? 2)( n ? 3) —————————15 分 4

——————————————————————————————9 分 将以上各式相加得 S n ?

18. 证明: (I) f ( x ) 定义域为 R

f ( x) ?

a? x ?1 1 ? a x ? ? ? f ( x) a? x ? 1 1 ? a x

f ( x) 为奇函数,——————————5 分

1 1 2 2 1 1 ? f ( x ? ) ? f ( ? x) ? 2 2 2 1 1 ? f ( x ? ) ? f ( ? x) ? 0 f ( x) 为奇函数 ——————————————10 分 2 2 ? g ( x) ? g (1 ? x) ? 2
(Ⅱ)① g ( x) ? g (1 ? x) ? f ( x ? ) ? 1 ? f ( ? x) ? 1 ②

g (0) ?

1 99 ? ? ? g (1) ? ? g (0) ? g (1)? ? ? g ( ?g )? ? 100 ? ? 100

? ? 49 ? ? 51 ? ? ? ?g ? ?? g? ?? ? 100 ? ? ? ? 100 ?

?1? ? g ? ? ? 2 ? 50 ? 1 ? 101 ————————————————————15 分 ?2? a a 19. 解: (1) x ? 0, a ? 0 ? f ( x) ? x ? ? 2 a , 当且仅当 x ? 即 x ? a 时, f ( x ) 取 x x 得最小值,? a ? 1? a ? 1 ————————————————————5 分 1 1 1 2 PN ? t ? PM · PN ? (2)设 p (t , t ? )(t ? 0) 则: PM ? t ? (定值) t 2 2 2t
——10 分

? 3? OM

?

2t ? 2

1 t ?S

OMPN

? S?OPM ? S?OPN ?

1 1 ? ? 2 2t

2t ?

1 t ? 1 t ? (t ? 1) ? 1 ? 1 ( 1 ? t 2 ) ? 2 t 2 2t 2 2

1 2 1 1 2 . (当 t ? 4 时取等号)? 四边形 OMPN 面积最小值为 1 ? 1? ? 2 ? 1? 2 2 2 2 2
——————————————————————————————————16 分

20.解:(Ⅰ)(1) g ( x) ? a ( x ? 1) ? 1 ? b ? a
2

g ( x)在 ? 2, 3? 当 a ? 0 时, 上为增函数
? g (3) ? 4 ?9a ? 6a ? 1 ? b ? 4 ?a ? 1 ? ? ?? ? g (2) ? 1 ? 4a ? 4a ? 1 ? b ? 1 ?b ? 0 故?
(Ⅱ) f ( x) ? kx ? 0 化为: x ?

——————5 分

1 1 2 ? 2 ? kx ∵ x>0 ?1 ? 2 ? ? k x x x
? k ? 0. ————10 分

1?

1 2 1 ? ? ( ? 1) 2 ? 0 (当 x ? 1 时取等号) 2 x x x

f (| 2 x ? 1 |) ? k (
(Ⅲ)方程

2 ? 3) ? 0 | 2 ?1| 可化为
x

| 2 x ? 1 | 2 ?(2 ? 3k ) | 2 x ? 1 | ?(1 ? 2k ) ? 0 , | 2 x ? 1 |? 0
令 | 2 ? 1 |? t , 则方程化为 t ? (2 ? 3k )t ? (1 ? 2k ) ? 0 ( t ? 0 )
x 2

| 2x ?1| ?
∵方程
x

1 ? 2k ? (2 ? 3k ) ? 0 | 2x ?1| 有三个不同的实数解,

∴由 t ?| 2 ? 1 | 的图像知,

t 2 ? (2 ? 3k )t ? (1 ? 2k ) ? 0 有两个根 t1 、 t 2 ,
且 0 ? t1 ? 1 ? t 2 或 0 ? t1 ? 1 , t 2 ? 1

记 ? (t ) ? t ? (2 ? 3k )t ? (1 ? 2k )
2

?? (0) ? 1 ? 2k ? 0 ? ? (1) ? ?k ? 0 则?



? ?? (0) ? 1 ? 2k ? 0 ? ? ? (1) ? ?k ? 0 ? 2 ? 3k 0? ?1 ? 2 ? ∴k ? 0

——————16 分




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