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江苏省盐城市射阳县第二中学高二数学上学期期中试题苏教版

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高二上学期期中考试数学试题
1、 某校对全校 1000 名学生进行课外体育锻炼情况调查, 按性别用分层抽样法抽取一个容量 为 100 的样本,已知女生抽了 51 人,那么该校的男生总数是 ▲ . 2、 “ log3 M ? log3 N ”是“ M ? N ”成立的 ▲ 条件. (从“充要” 、 “充分不必要” 、 “必要不充分”中选择一个正确的填写) 3、已知命题 p : “正数 a 的*方不等于 0” ,命题 q : “若 a 不是正数,则它的*方等于 0” , 则 p 是q的 ▲ . (从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空) ▲ . 开始 输入 x

4、抛物线 y ? 4 x2 的焦点到准线的距离是

5、某射击运动员在四次射击中打出了 10,x,9,8 环的成绩, 已知这组数据的*均数为 9,则这则数据的方差是 ▲ . 6、右面是一个算法的程序框图,当输入值 x 为 8 时, 则其输出的结果是 ▲ .

x?0 Y 1 y ? ( )x 2

N

x ? x ?3

7、已知点 P ( x, ?1) 和点 A(1,2)在直线 l : 3x ? 2 y ? 8 ? 0 的异侧,则 x 的取值范围为 y 输出 ▲ . ▲ . 结束

8、已知 x, y ? R? , 且 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值

y≤2x, ? ? 9、若变量 x,y 满足结束条件?x+y≤1,则 x+2y 的最大值是 ? ?y≥-1, 10、 右面茎叶图是甲、乙两人在 5 次综合测评中成绩,其中 个数字被污损,则甲的*均成绩超过乙的*均成绩的概率 ▲ .
2 2



.

一 为

x y 11、已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的渐*线上,则 C 的方 a b 程为 ▲ . 12、若利用计算机在区间 (0,1) 上产生两个不等的随机数 a 和 b ,则方程 x ? 2 2a ? 不等实数根的概率为
2 2

2b 有 x



..

x y 13、 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若直线 a b y= 3(x+c)与椭圆的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率为 14、常数 a、b 和正变量 x,y 满足 a ? b ? 16, ▲ .

a 2b 1 ? ? ,若 x+2y 的最小值为 64,则 x y 2

ab ?





二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应 写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15、 (本小题满分 14 分)
2 已知 a ? 0 ,设命题 p :函数 y ? a x 在 R 上单调递增;命题 q :不等式 ax ? ax ? 1 ? 0 对

任意 x ? R 都成立.若“ p ? q ”为真, “ p ? q ”为假,求实数 a 的取值范围.

16、 (本小题满分 14 分) 已知命题 p : 1 ?

x ?1 ? 2 和命题 q : x 2 ? 2x ? 1 ? m2 ? 0(m ? 0) 3

若 _ p 是 _ q 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围。

17、 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? ?

1 2 ? a x

(1)解关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 ; (2)若 f ( x) ? 2 x ? 0 在 (0,??) 上恒成立,求 a 的取值范围

18、 (本小题满分 16 分) 某产品的三个质量指标分别为 x, y, z, 用综合指标 S = x + y + z 评价该产品的等级. 若

S≤4, 则该产品为一等品. 先从一批该产品中, 随机抽取 10 件产品作为样本, 其质量指标
列表如下: 产品编号 质量指标 (x, y, z) 产品编号 质量指标(x, y, z)

A1
(1,1,2)

A2
(2,1,1)

A3
(2,2,2)

A4
(1,1,1)

A5
(1,2,1)

A6
(1,2,2)

A7
(2,1,1)

A8
(2,2,1)

A9
(1,1,1)

A10
(2,1,2)

(Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; (Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品, (1) 用产品编号列出所有可能的结果; (2) 设事件 B 为 “在取出的 2 件产品中, 每件产品的综合指标 S 都等于 4”, 求事件 B 发 生的概率.

19、 (本小题满分 16 分) 某商场统计了去年各个季度冰箱的进货资金情况,得到如下数据: 季 度 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度

进货资金 (单位:万元) 42.6 38.3 37.7 41.4

(1) 试求该商场去年冰箱的“季拟合进货资金 m”的值(m 是这样的一个量:它与各个季 度进货资金差的*方和最小) ; (2) 该商场今年第一季度对冰箱进货时,计划进货资金比去年季拟合进货资金增长

25 %。经调研发现,销售“节能冰箱”和“普通冰箱”所得的利润 P(万元)和 Q

(万元)与进货资金 t(万元)分别*似地满足公式 P ?

1 20t t 和Q ? ,那么该 4 t ? 20

商场今年第一季度应如何分配进货资金,才能使销售冰箱获得的利润最大? 最大利润是多少万元?

20、(本小题满分 16 分) 椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的一个焦点 F1 (?2,0) ,右准线方程 x ? 8 . a2 b2
PM 的取值 AP

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若 M 右准线上一点, A 为椭圆 C 的左顶点,连结 AM 交椭圆于点 P ,求 范围; (3)设圆 Q: ( x ? t )2 ? y 2 ? 1(t ? 4) 与椭圆 C 有且只有一个公共点,过椭圆 C 上一点 B 作 圆 Q 的切线 BS 、 BT ,切点为 S , T ,求 BS ? BT 的最大值.

射阳县第二中学高二数学阶段监测

1 1 2 参考公式:样本数据 x1 , x2 , ???, xn的方差s ? ? ( xi ? x ) , 其中*均数x ? ? xi . n i ?1 n i ?1
2

n

n

一、填空题:本大题共 14 题,每小题 5 分,计 70 分,不需写出解答过程,请把答案写在答 题纸的指定位置上。 1、 某校对全校 1000 名学生进行课外体育锻炼情况调查, 按性别用分层抽样法抽取一个容量 为 100 的样本,已知女生抽了 51 人,那么该校的男生总数是 ▲ .490 2、2、 “ log3 M ? log3 N ”是“ M ? N ”成立的 ▲ 条件. 充分不必要 (从“充要” 、 “充分不必要” 、 “必要不充分”中选择一个正确的填写) 3、已知命题 p : “正数 a 的*方不等于 0” ,命题 q : “若 a 不是正数,则它的*方等于 0” , 则 p 是q的 题. 4、抛物线 y ? 4 x2 的焦点到准线的距离是 ▲ .1/8 ▲ . (从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空)否命

5、某射击运动员在四次射击中打出了 10,x,9,8 环的成绩,已知这组数据的*均数为 9, 则这则数据的方差是 ▲ 1/2 开始 6、下面是一个算法的程序框图,当输入值 x 为 8 时, 则其输出的结果是 .2 输入 x

x?0 Y 1 y ? ( )x 2
输出 y

N

x ? x ?3

7、已知点 P ( x, ?1) 和点 A(1,2)在直线 l : 3x ? 2 y ? 8 ? 0 的异侧,则 x 的取值范围为 结束 ▲
?

(10/3,+ ? ) ▲

第 6 题图 1/16

8、已知 x, y ? R , 且 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值

y≤2x, ? ? 9、若变量 x,y 满足结束条件?x+y≤1,则 x+2y 的最大值是 ? ?y≥-1, 10、 右图茎叶图是甲、乙两人在 5 次综合测评中成绩,其中 个数字被污损,则甲的*均成绩超过乙的*均成绩的概率 ▲ .4/5
2 2



5 . 3 一 为

x y 11、已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的渐*线上,则 C 的方 a b 程为 ▲ . - =1 20 5

x2

y2

12、若利用计算机在区间 (0,1) 上产生两个不等的随机数 a 和 b ,则方程 x ? 2 2a ? 不等实数根的概率为
2 2

2b 有 x



.

1 . 2

x y 13、 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若直线 y= 3(x+ a b c)与椭圆的一个交点 M 满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于 -1 14、常数 a、b 和正变量 x,y 满足 a ? b ? 16, ▲ . 3

a 2b 1 ? ? ,若 x+2y 的最小值为 64,则 x y 2

ab ?

▲ .64

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应 写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15、 (本小题满分 14 分)
2 x 已知 a ? 0 ,设 p :函数 y ? a 在 R 上单调递增; q :不等式 ax ? ax ? 1 ? 0 对任意 x ? R

都成立.若“ p ? q ”为真, “ p ? q ”为假,求实数 a 的取值范围. 命题 p 真:a>1,命题 Q 真:0<a<4 ,--------4 分 P 真 q 假时, a ? 4 p 假 q 真时, 0 ? a ? 1 -------12 分

综上所述:a 的取值范围为 a ? 4 或 0 ? a ? 1 ---------14 分 16、 (本小题满分 14 分) 已知命题 p : 1 ?
_ _

x ?1 ? 2 和命题 q : x 2 ? 2x ? 1 ? m2 ? 0(m ? 0) 3

若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围。

16、解析:命题p : ? ?2,10? ????? 命题q : ?1 ? m,1 ? m? (m ? 0) ? ? ? ?4分 因为?p是?q的必要不充分条件所以p是q的充分不必要条件 从而 ? -2,10? ?? ?1 ? m,1 ? m? ? ? ? ? ? 8分 ?m ? 0 ? 所以 ?1 ? m ? ?2 解m ? 9 ? ? ? ? ? 14分 ?1 ? m ? 10 ?
17、 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? ?

1 2 ? a x

(1)解关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 ;

(2)若 f ( x) ? 2 x ? 0 在 (0,??) 上恒成立,求 a 的取值范围。

17、解

18、 18、 (本小题满分 16 分) 某产品的三个质量指标分别为 x, y, z, 用综合指标 S = x + y + z 评价该产品的等级. 若

S≤4, 则该产品为一等品. 先从一批该产品中, 随机抽取 10 件产品作为样本, 其质量指标
列表如下: 产品编号 质量指标(x, y, z) 产品编号 质量指标(x, y, z)

A1
(1,1,2)

A2
(2,1,1)

A3
(2,2,2)

A4
(1,1,1)

A5
(1,2,1)

A6
(1,2,2)

A7
(2,1,1)

A8
(2,2,1)

A9
(1,1,1)

A10
(2,1,2)

(Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; (Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品, (⒈) 用产品编号列出所有可能的结果; (⒉) 设事件 B 为 “在取出的 2 件产品中, 每件产品的综合指标 S 都等于 4”, 求事件

B











.

19、 (本小题满分 16 分) 某商场统计了去年各个季度冰箱的进货资金情况,得到如下数据: 季 度 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度

进货资金 (单位:万元) 42.6 38.3 37.7 41.4

(3) 试求该商场去年冰箱的“季拟合进货资金 m”的值(m 是这样的一个量:它与各个季 度进货资金差的*方和最小) ; (4) 该商场今年第一季度对冰箱进货时,计划进货资金比去年季拟合进货资金增长

25 %。经调研发现,销售“节能冰箱”和“普通冰箱”所得的利润 P(万元)和 Q
(万元)与进货资金 t(万元)分别*似地满足公式 P ?

1 20t t 和Q ? ,那么该 4 t ? 20

商场今年第一季度应如何分配进货资金,才能使销售冰箱获得的利润最大? 最大利润是多少万元? 19、参考答案: (1)设四个季度的进货资金分别为 a1 , a2 , a3 , a4 ,

2 2 2 2 则M=(m-a) 1 +(m-a) 2 +(m-a) 3 +(m-a) 4

=4m 2 ? 2(a1 ? a2 ? a3 ? a4 )m ? (a12 ? a2 2 ? a32 ? a4 2 ) ? ? ? ?4分 a1 ? a2 ? a3 ? a4 时,M 最小--------6分 4 42.6+38.3+37.7+41.4 故所求的季拟合进货资金m = =40万元--------8分 4 (2)因为今年第一季度的进货资金为40 ? (1+25%) =50万元 所以当m= 设用于普通冰箱的进货资金为x万元,则用于节能冰箱的进货资金为(50-x)万元 1 20 x 从而销售冰箱获得的利润为y=P+Q= (50 ? x) ? (0 ? x ? 50) ? ? ? ? ? 12分 4 x ? 20 75 s 400 75 s 400 35 ?( ? )? ?2 ? ? ? ? ? ? ? 14分 2 4 s 2 4 s 2 当且仅当s ? 40,即x ? 20时,y取得最大值为17.5. 令s ? x ? 20 ? ? 20, 70? , 则y ? 所以当用于节能冰箱的进货资金为30万元,用于普通冰箱的进货资金为20万元时, 可使销售冰箱的利润最大,最大为17.5万元---------16分

(3)设圆 Q: ( x ? t ) ? y ? 1(t ? 4) 与椭圆 C 有且只有一个公共点,过椭圆 C 上一点 B 作
2 2

圆 Q 的切线 BS 、 BT ,切点为 S , T ,求 BS ? BT 的最大值. 20、解: (1)由题意得, c ? 2 ,

a2 ? 8 得, a 2 ? 16 , b 2 ? 12 , c

∴所求椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 .………………………………………………………5 分 16 12

(2)设 P 点横坐标为 x0 ,则

PM 8 ? x0 12 ? ? ?1, AP x0 ? 4 x0 ? 4

∵ ? 4 ? x0 ? 4 ,∴

PM 8 ? x0 12 1 ? ? ?1 ? . AP x0 ? 4 x0 ? 4 2
………………………………………………………10 分



PM ?1 ? 的取值范围是 ? ,?? ? AP ?2 ?

(3)由题意得, t ? 5 ,即圆心 Q 为 (5, 0) , 设 BQ ? x ,则 BS ? BT ?| BS | ? | BT | cos ?SBT ?| BS | ? | BT | (1 ? 2sin 2 ?SBQ)

1 2 ? ( x 2 ? 1)[1 ? 2( ) 2 ] ? x 2 ? 2 ? 3 , x x
2 ∵ 1 ? BQ ? 9 ,即 1 ? x ? 9 ,∴ 1 ? x ? 81 ,

2 在 (1, 2) 上单调递减,在 ( 2,81] 上单调递增, x 6320 2 ∴ x ? 81 时, ( BS ? BT ) max ? . …………………………………16 分 81
易得函数 y ? x ?




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